Polynom er et matematisk uttrykk som består av ledd på formen \(ax^n\) der \(a\) er et tall (kalles koeffisient), \(x\) er en variabel og \(n\) er et heltall.
polynom
Polynomer av en variabel
Polynomer av én variabel skrives på formen:
\[f(x)=a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_{n-1}x^{n-1} + a_nx^n\]
I dette uttrykket er variabelen x. Tallene \(a_0, a_1, \cdots , a_n\) er polynomets koeffisienter, og eksponenten \(n\) til den høyeste potensen av \(x\) kalles polynomets grad.
Konstant funksjon
Et polynom av grad null er en konstant funksjon:
\[f(x) = a_0\]
Grafen til en konstant funksjon er en horisontal linje. Uansett hvilken verdi funksjonen tar imot, gir den samme verdi.
I polynomet \(f(x) = 5\) er graden null og koeffisienten 5. Grafen til den konstante funksjonen er en horisontal linje slik at funksjonen er 5 uansett hvilken \(x\)-verdi funksjonen tar imot.
Lineær funksjon
Et polynom av grad en er en lineær funksjon:
\[f(x) = a_0 + a_1 x\]
I stedet for \(a_0\) og \(a_1\) brukes ofte \(a\) og \(b\):
\[f(x) = ax + b\]
Grafen til en lineær funksjon er en rett linje med stigningstall \(a\) og som krysser vertikalaksen i \(b\).
Den krysser \(x\)-aksen én gang og har derfor ett nullpunkt. For å finne nullpunktet setter vi \(f(x) = 0\) som gir at \(ax + b = 0\). Dermed vet vi at grafen krysser \(x\)-aksen når \(x = -\frac{b}{a}\).
I polynomet \( f(x) = 0,8x + 2\) er graden én og koeffisientene 0,8 og 2. Grafen til denne lineære funksjonen har stigningstall 0,8 og krysser den vertikale aksen i \(y=2\). At stigningstallet er 0,8 betyr at når \(x\)-verdien øker med én, for eksempel fra to til tre, øker \(y\)-verdien med 0,8.
Kvadratisk funksjon
Et polynom av grad to er en kvadratisk funksjon:
\[f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 \]
I stedet for \(a_0\), \(a_1\) og \(a_2\) brukes ofte \(a\), \(b\) og \(c\):
\[f(x) = ax^2 + bx + c\]
Grafen til en kvadratisk funksjon har enten ett bunnpunkt eller ett toppunkt. Grafen krysser vertikalaksen i \(y = c\) siden \(f(0) = c\). Og den krysser \(x\)-aksen opp til to ganger og har derfor opp til to nullpunkt.
Hvis hele grafen ligger enten over eller under \(x\)-aksen, har den ingen nullpunkt. Hvis bunnpunktet eller toppunktet ligger på \(x\)-aksen har den bare ett nullpunkt. For å finne eventuelle nullpunkt setter vi \(f(x) = 0\) som gir at \(ax^2 + bx + c = 0\). For å løse den ligningen bruker vi andregradsformelen:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\]
Eksempel: I polynomet \( x^2 + 2x + 1\) er graden 2 og koeffisientene 1, 2 og 1. Den krysser vertikalaksen i \(y = f(0) = 1\) og \(x\)-aksen i \(f(x) = 0\) som gir:
\[x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 – 4\cdot 1 \cdot 1}}{2\cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1\]
Grafen til dette polynomet har derfor bare ett nullpunkt.
I polynomet \( f(x) = 0,3x^2 - 0,3x - 1,8\) er graden 2. Grafen til polynomet krysser \(y\)-aksen i \(y = f(0) = -1,8\) og krysser \(x\)-aksen to ganger. Den har derfor to nullpunkt der \(f(x) = 0\).
Kubisk funksjon
Et polynom av grad tre er en kubisk funksjon og kalles ofte et tredjegradspolynom:
\[f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3\]
Grafen til et tredjegradspolynom har vanligvis ett toppunkt, ett bunnpunkt, og to vendepunkt.
Eksempel: I polynomet \( 4x^3+2x^2-1\) er graden 3 og koeffisientene 4, 2, 0 og –1.
I polynomet \( f(x) = 0,1x^2 + 0,2x - 1,1x - 1,2\) er graden 3. Polynomet krysser \(x\)-aksen tre ganger.
Polynomer av flere variabler
Et polynom kan være en funksjon av en, to eller flere variabler. Polynomer av to variabler brukes for å beskrive flater i 3D.
Eksempel: Polynomet \(f(x,y)=3x^2+2xy+7y^2−2y+1\) er et polynom av to variabler, \(x\) og \(y\).
Polynomet \(f(x,y) = 0.1x^2 -0.2y^2 + 0.8xy + 0.5x-0.3y + 5\) er en funksjon av to variabler, \(x\) og \(y\) der \(z = f(x,y)\). Grafen til polynomet blir en flate i 3D slik at hver kombinasjon av \(x\)- og \(y\)-verdier gir en \(z\)-verdi og dermed et punkt i \((x,y,z)\)-rommet. I stedet for 3D plot, tegnes de ofte som konturplot, det vil si 2D-plot med farger der hver farge representerer en \(z\)-verdi.
Bruk
Polynomer er mye brukt til å beskrive sammenhenger mellom størrelser fordi de er enkle å regne med og gir glatte, jevne kurver.
Et andregradspolynom gir en god modell for hvordan et objekt beveger seg når akselerasjonen er konstant, for eksempel i et kast. I data og teknologi brukes polynomer blant annet i grafikk, animasjoner og signalbehandling.
Posisjonen til en ball som kastes, følger en parabelbane som kan beskrives av et andregradspolynom. Her kastes en ball fra 1,6 meters høyde nesten 25 meter.
Se sammenhenger mellom variabler
Polynomer brukes også til å se sammenhenger mellom variabler når vi har målinger.
I lineær regresjon finner vi den rette linjen som passer best til datapunktene, og i kvadratisk regresjon finner vi en kvadratisk funksjon som passer best til datapunktene.
Hvis vi ønsker å finne en funksjon som passer til målepunkter, kan vi bruke regresjon. I linær regresjon finner vi den rette linjen (rød) som passer best til målepunktene. Og i kvadratisk regresjon finner vi den kvadratiske funksjonen (blå) som passer best til målepunktene.
Les mer i Store norske leksikon
Kommentarer
Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.
Du må være logget inn for å kommentere.