ligning

For å finne løsningen av \(4x + 12 = 0\), kan vi gjøre det samme på begge sider inntil vi står igjen med \(x\) alene. Først trekker vi fra 12 på begge sider:

\[4x + 12 \:– 12 = -12 \quad \Rightarrow \quad 4x = -12\]

Deretter kan vi dele på fire på begge sider:

\[\frac{4x}{4} = \:– \frac{12}{4} \quad \Rightarrow \quad x = -3\]

Til sist bør vi sjekke om \(x = -3\) er en løsning ved å sette \(x = -3\) inn i den originale ligningen.

Hvis du sykler 15 km/t, kan du bruke en ligning for fart for å finne ut hvor lang tid du bruker på å sykle 12 km:

\[v = \frac{s}{t} \]

\(v = 15 \text{ km/t}\) er farten, \(s = 12 \text{ km}\) er strekningen og \(t\) er tid som er den ukjente variabelen. Først multipliserer vi begge sider med \(t\):

\[v \cdot t = \frac{s}{t} \cdot t \quad \Rightarrow \quad vt = s \]

Deretter deler vi begge sider på \(v\):

\[\frac{vt}{v} = \frac{s}{v} \quad \Rightarrow \quad t = \frac{s}{v} \]

Til sist kan vi sette inn størrelsene og finne tiden:

\[t = \frac{s}{v} = \frac{12 \text{ km}}{15 \text{ km/t}} = 0.8 \text{ timer}\]

Siden det er 60 minutter i en time, er 0.8 timer det samme som 0.8 \(\cdot\) 60 minutter = 48 minutter.

For å finne løsningen av \(2x^2 – 8 = 0\), kan vi bruke andregradsformelen med \(a = 2\), \(b = 0\) og \(c = -8\):

\[x = \frac{-0 \pm \sqrt{0^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-8)}}{2 \cdot 2}\]

som gir:

\[x = \pm \frac{\sqrt{64}}{4} = \pm \frac{8}{4} = \pm 2\]

Ligningen har to løsninger: \(x = -2\) og \(x = 2\).

For å finne løsningen av \(x^2 – 8x + 16 = 0\), kan vi bruke andregradsformelen med \(a = 1\), \(b = -8\) og \(c = 16\):

\[x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 2}\]

som gir:

\[x = \frac{8 \pm \sqrt{64 – 64}}{2} = \frac{8 \pm 0}{2} = 4\]

Ligningen har en løsning: \(x = 4\).

For å finne løsningen av \(x^2 – 2x + 5 = 0\), kan vi bruke andregradsformelen med \(a = 1\), \(b = -2\) og \(c = 5\):

\[x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2}\]

For å finne en løsning, må vi bruke komplekse tall med \(i = \sqrt{-1}\). Det gir:

\[x = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i\]

Ligningen har to komplekse løsninger: \(x = 1 – 2i\) og \(x = 1 + 2i\).

I algebraiske ligninger står de ukjente variablene i uttrykk som er laget av de fire regningsartene. Førstegradsligninger og andregradsligninger er eksempler på algebraiske ligninger.

En algebraisk ligning med en ukjent kan skrives på den generelle formen \(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0\). Algebraisk ligningsteori handler om å løse slike ligninger.

Transcendente inneholder transcendente funksjoner som trigonometriske funksjoner og eksponentialfunksjoner.

Noen eksempler på transcendente ligninger er \(3^x = 7\) eller \(3 \sin(x) + 5\cos(x) = 5\).

En ligning kan også ha andre operasjoner enn de fire regningsartene, for eksempel differensialligninger, integralligninger, funksjonalligninger og differensligninger.

Problemer som fører til ligninger av første grad treffer man på i ulike sammenhenger i den elementære matematikken. Kileskrifttavler fra cirka 2000 år fvt. viser at allerede babylonerne kjente en fremgangsmåte til å løse andregradsligninger \(ax^2 + bx + c = 0\).

Senere gresk matematikk gav løsningene ved hjelp av geometriske konstruksjoner.

Den neste naturlige oppgaven er løsningen av tredjegradsligninger, og den ble ikke gjennomført før på begynnelsen av 1500-tallet av den italienske matematiske skolen i Bologna. Det må her fremheves at man ønsker å løse ligningen ved rottegn, det vil si ved uttrykk som tilfredsstiller ligningen og som er utledet av koeffisientene i ligningen ved de fire regningsartene og rotutdragninger. Løsningen av tredjegradsligningen ble sannsynligvis gitt først av Scipione del Ferro omkring 1515 og senere uavhengig av Niccolò Tartaglia, men den ble først offentliggjort av Girolamo Cardano i hans verk Ars magna (1545), sammen med løsningen av fjerdegradsligningen, funnet av Cardanos elev Lodovico Ferrari. Det kom til en bitter prioritetsstrid mellom Cardano og Ferrari, som hadde gitt løsningen av tredjegradsligningen til Cardano under taushetsløfte.

I de følgende århundrer, etter som det algebraiske tegnspråk ble utviklet og de komplekse tallene ble kjent, fikk man også større oversikt over egenskapene til algebraiske ligninger. Det var tidlig kjent at hvis man tillot komplekse tall som røtter, så ville enhver ligning av n-te grad ha n røtter. Denne satsen kalles algebraens fundamentalsats, og den ble først bevist av Carl Friedrich Gauss (1799).

I en avhandling trykt i Oslo i 1824 beviste Niels Henrik Abel at femtegradsligningen, og derfor en generell n-te grads ligning i alminnelighet, ikke kan løses ved rottegn. Imidlertid finnes det ligninger av vilkårlig høy grad som kan løses ved rottegn, og da står spørsmålet igjen om å finne de nødvendige og tilstrekkelige betingelsene for eksistensen av en slik løsning for en gitt ligning. Dette problemet ble løst av Évariste Galois (1811–1832) ved hjelp av gruppeteori.

I tallteorien studeres de såkalte ubestemte eller diofantiske ligningene. Som regel har man bare én ligning med flere ukjente, men også i noen tilfeller ligningssystemer med flere ukjente enn ligninger, og man ønsker å finne løsninger som er rasjonale eller hele tall. Fermats sats er et berømt eksempel på en diofantisk ligning. De diofantiske ligningene er oppkalt etter Diofantos fra Alexandria, som skrev et større arbeid om spesielle klasser av ubestemte ligninger.