Выбор точки зрения

Недавно проскакивала хорошая загадка, которую немногие могли решить, хотя для этого достаточно школьного материала (вроде бы 7-8 класс). Разберём её подробнее.

10*10=100
11*11=121
12*12=144
13*13=170
14*14=???
15*15=237

Все равенства – верные.
* – стандартная арифметическая операция умножения, здесь никакого подвоха нет.

Если не получилось решить:

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подсказка: в обычной десятичной системе счисления, понятно, такого, быть не может. А где?
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как вообще подойти к решению подобной задачи?

Способ I. Интуитивный. Видим, что с какого-то момента при умножении запись результата начинает отклоняться от привычной. Предполагаем, что это – запись в какой-то другой системе счисления. Причём, с меньшим основанием (потому что отклонения в "большую" сторону), но не сильно отличной от десятичной. Навскидку предположим – девятичная. 170(9) = 1*9^2 + 7*9 + 0 = 81 + 63 = 144. Хм. Получили квадрат, но не числа 13, а 12. Отличается на единицу – вероятно, и слева девятичная, а не десятичная запись? Ну да, 12(9) = 13.

Способ II. Общий универсальный алгебраический. Предполагаем, что числа справа и числа слева записаны в некоторых системах счисления (с некими целыми положительными основаниями x и y). Уже из первой строки x*x = y^2, то есть y=x. Из третьей строки получаем уравнение: (x+3)*(x+3) = x^2 + 7x. Решаем, легко выводим x=9.


Можно ещё на всякий случай проверить для последней строки:
15(9)*15(9) = 14*14 = 196 = 2*9^2 + 3*9 + 7 = 237(9).

После этого получить ответ уже нетрудно :)