대충 COVID-19사태로 신종 코로나가 실험실에서 만들어졌다느니, 5G 네트워크를 통해 전염된다느니, 빌게이츠의 계략이라느니 등의 음모론이 팽배한 가운데 나온 아티클로 보인다. 요약하자면 다음과 같다. 뭐 크게 새로운 내용은 없는듯하지만, 대체적으로 동의해서 그냥 기록해둠.
우선 다음을 명심하라:
사람이 음모론를 믿는것은 자연스러운 것이다.
당신조차 음모론에 빠지기 쉬움을 명심해라.
어떤 집단도 음모론에 더 취약하지 않다.
사회적 거리두기로 인해 현재는 음모론에 더욱 빠지기 쉬운 상태이다.
모든 음모론은 약간의 진실을 포함한다.
음모론은 종종 위험한 다른 영향을 야기한다. (인종차별 등)
모두가 음모론을 퍼뜨리는 인플루언서이다.
그리고 다음과 같이 대화하라:
언제나, 언제나 상대방을 존중하라.
사적인 대화를 통하라.
말이 먼저 통하는지, 상대방이 마음을 바꿀수 있는지 확인하라.
진실에는 동의하라.
“진실의 햄버거”를 시도하라-진실, 그를 이용한 음모론의 반박, 그리고 진실.
질문을 통해 대화하라.
사랑하는 사람과는 특히 조심스럽게 대화하라.
진실과 관계 없이 마음을 바꿀 생각이 전혀 없는 사람들이 있음을 인정하라.
대화가 상황을 나쁘게 만들면, 그냥 중단하라.
조금의 변화로 충분하다.
표어만 들고와서 번역해서 오역이나 이해하기 힘든 말들도 있을듯. 개인적으로는 1,2,3(과 8),7,9을 특히 중요하게 여긴다. (내가 믿지 않는) 음모론을 믿는지가 사람을 판단하는 유일한 팩터가 아니니까.
20세기 최고의 물리학자라고 해도 될만한 알버트 아인슈타인에 대해 이것저것 찾아보다가 갈리나 웨인스타인(Galina Weinstein)이라는 아인슈타인의 생을 전공으로 하는 사학자에 대해 알게되었다. 논문도 이것저것 많이 쓰고 책도 많이 쓴것같은데, 심심해서 이것저것 찾아보다가 여러 가십들을 알게되어 여기 정리해본다. 전적으로 웨인스타인의 글과 의견에 따른 내용이다. 알던 내용도 있고 헷갈리던 내용도 있는데 그냥 재밌는 것들 위주로 랜덤으로 적음. 몇가지는 출처를 까먹음ㅋ
내가 가장 재밌게 읽은 것들은 5,7,11같은 젊은 아인슈타인의 오만함으로 보이는 모습들이다 ㅋㅋㅋ
아인슈타인은 어린 시절부터 과학과 관련되지 않은 수업은 개판으로 들었고, 과학과 관련된 수업은 진도보다 빨리 혼자 공부했다.
아인슈타인은 유클리드 기하, 대수 등을 혼자 공부했고, 12살때 피타고라스 정리의 새로운 증명을 혼자 발견하기도 했다.
아인슈타인은 아버지 사업이 망해서 이리저리 나라를 옮겨다니며 살았고, 16살때 취리히 공대 (the Polytechnic institute in Zürich) 시험을 봤으나 언어, 역사 등에서 성적이 낮아 떨어졌다. 근데 수학과 과학에서 아주 뛰어난 결과를 보여 스위스 2차교육을 받고 와서 그 다음해에 붙었다. 첫 시험을 볼 당시에 아인슈타인은 제대로 된 증명서 (졸업 증명서 등인듯)도 없었고, 취리히 공대 보통 입학하는 학생보다 두 살 어렸는데 주변인의 도움으로 시험 응시자격을 얻은듯 하다. 스위스의 교육은 꽤나 리버럴했고, 대학과 닮아있었다고 한다. (대부분 유명한 사실인듯 하다. 어렸던 것은 몰랐음..)
아인슈타인이 취리히 공대에 입학했을 때 수학/이론물리의 학과장 하인리히 프리드리히 웨버 (Heinrich Friedrich Weber)와 실험물리의 학과장인 장 페넷(Jean Pernet)이 있었다. 아인슈타인은 웨버의 수업을 주로 들었는데, 웨버의 렉쳐는 좀 구닥다리다 ((Weber’s)”lectures were indeed a little old-fashioned.”)라고 깠다 ㅋㅋㅋ 최신의 내용을 다루지 않는데에 굉장히 불만이 있었던 듯 하다. (아인슈타인에 따르면) 웨버는 헤르만 폰 헬름홀츠(Hermann von Helmholtz)이후의 물리는 가르치지 않았다고. 그래서 대학에 가서도 공부는 혼자한듯하다 ㅋㅋ 특히 멕스웰방정식 등을 공부한듯.
그 당시 웨버는 사실상 연구를 그만둔 상태에다가 웨버의 연구 자체가 순수 물리라기보단 다양한 응용에 집중되어있던듯 하다. 또한 웨버는 꽤나 꼰대였던듯 하고, 엄청나게 리버럴했던 아인슈타인은 웨버를 전혀 존중하지 않고, 수업도 거의 듣지 않은듯 하다. (그래서 웨버도 아인슈타인을 굉장히 싫어했던듯 하다.) 웨버는 아인슈타인을 일컬어 “총명한 학생이다. 근데 남의 말을 전혀 들으려 하지 않는다는 문제가 있다.”라고 했다고 한다.
아인슈타인이 페넷의 연구실에서 일을 잠깐 하기도 했다. 1899년 6월 그 실험실에서 오른손을 크게 다친적도 있는듯. 페넷은 꽤 리버럴했던듯 하지만 아인슈타인은 그래도 개판이였던듯 하다 ㅋㅋㅋ 매번 부탁한 일과 다른 일을 하고 있었다고.
페넷이 아인슈타인에게 왜 약학이나 법학, 언어학을 하지 않냐고 묻자 아인슈타인은 “제게 재능이 있다고 믿으니까요, 교수님” (Because I feel that I have a talent, Herr professor)이라고 말했다고 한다.
위에서 Herr professor라는 표현이 있는데, 이게 공손한 표현인듯 하다. 아인슈타인이 웨버를 부를때는 Herr Weber라고 불렀고, 둘 사이는 굉장히 공공연히 안좋았던듯 ㅋㅋㅋ
아인슈타인은 수학수업도 거의 안가고, 대부분의 시험을 친구인 마르셀 그로스만(Marcel Grossmann)의 필기로 공부해서 시험을 쳤던듯 하다. 그로스만은 아인슈타인에게 현대 기하학을 공부하기를 추천하기도 한 듯 하고, 상대성 이론에 영향을 꽤나 준 듯하다.
졸업 이후 웨버와의 불화로 인한 강력한 방해와 시민권 문제로 아인슈타인은 한참 직업을 못구했다고 한다. 이 때 그로스만이 사교육 강사와 스위스 특허청의 일 등을 추천해준듯 하다. 이 때 스위스 특허청의 디렉터는 그로스만 아버지의 친구 프리드리히 할러(Friedrich Haller)였고, 그로스만의 아버지는 굉장히 강한 추천서를 써주었다고 한다.
아인슈타인은 그로스만과의 인터뷰에서 특허에 관한 지식이 있냐고 묻자 전혀 없다(no, nothing)이라고 대답했다고 한다 ㅋㅋㅋ 근데 맥스웰의 전자기학 등에 대한 이해를 보고 잘 할거라고 믿고 뽑은듯 하다.
어쩌면 당연한 얘기지만, 할러는 아인슈타인이 물리공부를 할거라고 생각하지 않은듯 하다. 최소한 아인슈타인은 할러가 자신이 물리공부를 하는걸 발견하면 화를 내고 비웃을것이라고 생각했고, 그래서 작은 종이에 적고 발자국소리를 듣자마자 종이를 숨겨가며 연구했다고 한다. 그 결과들이 바로 아인슈타인의 기적의 해 1905년의 논문들(Annus mirabilis papers).. -_-….
아인슈타인은 1905년 논문을 제출하고 떨어질까 굉장히 걱정했고, 출판된 이후에는 강렬한 비판을 생각했으나 한동안 전혀 반응이 없어 굉장히 실망했다고 한다. 첫 편지를 받은게 막스 플랑크에게서 인듯 -_-…. 그리고 당시 대부분의 연구자들이 아인슈타인을 찾는 편지를 베른 대학의 아인슈타인 교수에게 보냈다고 한다 ㅋㅋㅋ
첫 아내였던 밀레바 마리치(Mileva Marić)가 아인슈타인의 기적의 논문들에 영향을 주었다는 주장도 있는듯 하다. 주된 요지는 아인슈타인이 1901년 마리치에게 쓴 편지 중의 “bringing our work on relative motion to a successful conclusion!”라는 문장과 초고에 있던 서명 Einstein-Marity (i.e. Marić)인듯. 웨인스타인은 이 주장이 틀렸다고 생각하고, 그게 대세의 주장인듯. 한글위키에도 근거가 꽤 잘 정리되어 있다.
우주상수(Cosmological constant)가 “가장 큰 실수(biggest blunder)”라고 했다는 아인슈타인의 말이 유명한데, 이건 아주 큰 실수(capital blunder or monumental blunder)라는 말이 와전된것으로 보인다고 한다.
찾다보니 사학자라기보단 작가에 가까운것 같기도 하고. 신기한 사람이 많구만. 출처들은 다음과 같음.
George Gamow and Albert Einstein: Did Einstein say the cosmological constant was the “biggest blunder” he ever made in his life?, Galina Weinstein (https://arxiv.org/abs/1310.1033)
블룸버그 기사에 따르면 올해 12월 31일부터 영국 내의 5G 네트워크에 화웨이 부품을 추가하지 못하게 된다고 한다. 이게 무슨일인가 하고 보니, 이미 지난 5월 뉴욕타임즈 기사에 따르면 미국의 화웨이 제제가 먼저였던듯. 이에 따르면 올해 9월부터 외국 기업이 미국 장비/기술을 이용한 기술을 화웨이나 그 자회사에 제공하려면 미국의 허락을 받아야 한다고 한다. 물론 그 요청은 거절될 수 있다고.
둘 모두 이유는 화웨이의 통신장비 보안 문제. 물론 그것 뿐만 아니라 그냥 미/영과 중국의 분쟁이 주가 아닐까 싶다. 한국 내에는 어떤가 싶어서 이런거 가장 잘 정리하는 나무위키항목 -_-을 찾아봤는데 여기저기 많이 쓰이고있나보군. 그리고 다른항목을 타고 넘어가보니 작년 5월에 이미 행정명령이 있었고, 올해 5월에 다시 세컨더리 보이콧으로 진행된 모양. 한국도 해당 행정명령때문에 영향을 많이 받나보다.
외판원 문제(Traveling salesman problem, TSP)는 n개의 도시들 사이의 음아닌 거리가 주어졌을 때 모든 도시를 정확히 한번씩 돌아 제자리로 돌아오는 외판원의 여행거리를 결정하는 문제이다. 이는 P대 NP문제와 NP완전문제를 소개할 때 가장 대표적으로 나오는 예시이기도 하다. 물론 실제 이론적인 배경을 설명할때는 문제 하나로 소개되는정도로 그치는것 같긴 하지만.
이 글에서는 일반적인 외판원 문제를 정확하게 푸는 지금까지 최고 알고리즘과 여러 시도들, 열린 문제들을 소개하는 것이 목표이다. 근사적인 답을 구하는 것도 큰 문제인데, 이 글에서는 다루지 않을것이다. 그리고 이 블로그의 글중에서는 드물게도 구체적인 알고리즘을 설명할것이다. 왜냐면 설명하기 좀 쉬우니까 ㅋ.
이 글에서는 피터 쇼어(Peter Shor)가 1994년 (Arxiv논문 링크), 이제는 쇼어의 알고리즘이라고 불리는 양자 소인수분해 알고리즘을 제안한 이후, 여러가지 측면에서 양자컴퓨터가 소인수분해 문제를 풀기에 얼마나 발전했는지, 그리고 얼마나 빨리 소인수분해를 할것으로 예측하고 있는지를 정리하고자 한다.
이 글은 다음과 같이 구성된다.
쇼어알고리즘의 간략한 설명
쇼어알고리즘의 구체적 구현과 최적화 논문들
양자컴퓨터를 이용한 실제 소인수분해 실험들
그치만 결론만 먼저 요약하면 앞선 글에서 소개했듯 RSA-240,250, 즉 약 800비트 정수를 소인수분해 하는데 2000 core-년이 필요한 반면, 2천만 큐비트의 에러가 있는 양자컴퓨터가 있다면 그럴듯한 가정 하에 RSA-2048, 즉 2048비트 정수를 소인수분해 하는데 8시간이면 충분하다고 한다! 이게 바로 양자컴퓨터의 위력 ㅡㅡ!
다만 쇼어알고리즘을 양자컴퓨터로 실제로 돌리는 것은 (내가 아는바에 의하면) 딱히 실험적으로 진행한 바가 없다. 쇼어알고리즘에 어느정도 치팅을 한 버젼이나, Adiabatic quantum computer등을 이용한 방식이 진행되었을 뿐이다. 치팅을 한 버젼도 최대한 치팅을 한것은 아니고, 그럴듯한 정도로 해서 양자 소인수분해에 대한 어느정도 근거를 주기는 하지만 말이다.
Arxiv를 보다가 어이없는 논문ㅋㅋ을 발견했다. 펭귄은 배설물을 강력한 직장 압력으로 발사한다는데, 이게 수족관 등을 설계하는데 사육사가 배설물을 직접 맞지 않도록 설계하는데 있어 중요하니 그 궤적을 계산해 보겠다는 내용 ㅋㅋㅋㅋ 대충 결론은 일상적인 상황에서 펭귄이 발사하는 위치…에서 1.34m정도 떨어져야 안전지대라는것.
삽화 from the original paper. 펭귄이 귀엽다.
놀랍게도 2003년에 다른 논문에서 비슷한 문제를 다뤘다고 한다. 그치만 수직거리만 고려하고, 여러 다른 요인을 고려하지 않아서 좀 더 일반적으로, 새로 계산을 한듯. 배설물의 점성(viscosity)이나 배설강의 형태를 원통으로 근사하는 등 굉장히 구체적이다.
저자중 한명이 가쓰라하마 수족관에서 일하는걸 보니 이분이 물리학자에게 문제를 의뢰했나보다. 물리의 실생활에의 진정한 응용인듯 ㅋㅋㅋ
얼마전 Crypto 2020에 발표될 논문들이 공개되었다. 이중에 재밌을만한걸 소개해보려 했는데, 딱히 비-암호학자에게 흥미로운 내용은 안보이는듯 -_- 대신 작년 Crypto 2019에서 발표되고 Best paper award를 받은 결과인 OCB2 인증암호에 대한 공격에 대해 살짝 소개해보려 한다.
OCB2는 필립 로가웨이(Phillip Rogaway)가 2004년 Aisacrypt에서 소개한 블럭암호(의 Mode of operation)를 이용한 인증방식으로, 2001년 로가웨이가 미히르 벨라르(Mihir Bellare)와 존 블랙(John Black)과 함께 만들었던 OCB1의 변형이다. 이후 OCB3도 제안되었는데, OCB1,2,3 모두 ISO/IEC 19772:2009로 아예 스탠다드로 정해진 방식이다. 또한 이전의 많은 연구에서 그 이론적 안전성이 다양하게 증명되고 뒷받침 되었다.
그런데 놀랍게도 Inoue등에 따르면 이 인증암호가 엄청나게 간단한 공격으로 평문이 복원되는 등의 문제가 있다고 한다! 이 논문의 결과로 OCB2는 ISO/IEC 스탠다드에서 제외되었다. 어떻게 이런 일이 일어날 수 있을까?
답은 간단하다. 로가웨이가 증명에서 실수한 부분이 있기때문 -_- 엄청 자세히 본건 아닌데, 로가웨이는 OCB2의 설계의 기반이 되는 방식으로 XEX*라는 새로운 연산을 정의했다. 이는 XE와 XEX라는 간단한 연산의 혼합인데, XEX*는 인풋을 받을때 태그를 같이 받아서 XE를 적용할지, XEX를 적용할지 선택할 수 있다. 근데 XEX*는 같은 메세지에 대한 다른 태그(즉, XE와 XEX)를 적용할 수 있다면 전혀 안전하지 않다고 한다.
로가웨이도 이걸 알았는데, OCB2에서 그런 방식의 계산이 없다고 생각한 듯 했나보다. 꽤나 subtle한 문제인가봄. 그런 가정 하에서는 안전성 증명이 가능하다고 한다. 근데 사실은 가능했던것 -_- 이게 15년 넘게 간과되고 있었고, 이번에 이게 사실 문제라는게 지적되었던 것. 증명이 별로 어려운 것도 아닐텐데, 조금 어이가 없다.
다행인 점이 몇가지 있는데,
OCB1과 OCB3는 XEX*를 쓰지 않고, 그래서 이 공격에 영향을 받지 않는다. (뿐만 아니라 증명이 아마 틀리지 않을것이라고 믿고있다.) 참고로 현재 가장 많이 쓰이는 것은 효율성 등의 이유로 OCB3. 사실은 로가웨이도 예전부터 OCB3를 쓰라고 추천했다고 한다. 그리고 OCB2도 XEX*대신 그냥 XEX를 쓰면 안전하다고 한다.
OCB2는 특이하게 특허가 걸려있고, 그래서 OCB2를 이용하는 예시가 거의 없다! 한 트위터 타래에서는 암호 특허의 최초의 현실적 쓸모라고 비꼬았다 ㅋㅋㅋ
이 문제가 발견된 이야기도 꽤 흥미로운데, 저자 카즈히코 미네마츠(Kazuhiko Minematsu)가 대학원생인 아키코 이노우에(Akiko Inoue)에게 교육를 목적으로 OCB2의 안전성 증명을 확인했다고 한다. 근데 두 사람은 어느순간 위에 언급한 증명의 문제를 찾아내었고, 크지 않은 갭이라고 생각해서 메꾸려고 한참 노력하다가 결국 existential forgery라는 공격(인증 부분을 깨는것)을 찾았다고 한다. 그래서 이걸 ePrint아카이브에 올리고, 그 두어주 후 베르트람 포테링(Bertram Poettering)과 테츠 이와타(Tetsu Iwata)가 각각 IND-CCA, OW-CCA공격(혹은 평문 복호화)을 찾았다고 한다. 논문의 Appendix A에서 대충 확인할 수 있음 ㅋ.
사실 나는 다른 사람에게 썰을 듣고 증명과 설계가 달라서 공격이 된거로 알고 있었는데, 알고보니 증명 자체가 틀린거네 -_- 아마 그 사람이 결론의 다음 문장을 읽고 착각한것 같다.
This was possible due to the discrepancy between the proof of OCB2 and the actual construction.
암호학계에서는 증명이 꽤 그럴듯하면 어느정도 대충 읽는 경향이 있는것같다. 특히 로가웨이정도면 굉장히 유명한 학자라서 더 그랬던듯. 결론부에 따르면 이거 말고도 이전에 몇몇 안전성이 증명된 스킴들이 틀린 부분이 발견된 적이 있나보다. 다행히도 듣기로는 스탠다드로 정해진것 중에서 공격이 된건 OCB2가 처음이라는듯. 정말 암호 특허의 현실적인 쓰임이다 -_-
임의의 평면위의 닫힌단순곡선, 혹은 Jordan curve에 대해서 그 위에 네 점을 적당히 잘 잡아서 정사각형을 만들수 있는지 묻는 문제가 바로 내접하는 정사각형(Inscribed square problem), 혹은 Square peg problem 등으로 불리는 문제이다. 혹은 Toeplitz’ conjecture로 부르기도 하는데, 이 문제는 Otto Toeplitz가 1911년 제안했다고 한다.
그런데 Herbert Vaughan가 1970년대 후반에 임의의 Jordan curve위의 직사각형이 있다는 결과를 밝히기 전까지 큰 진전이 없었고, 아직까지 굉장히 어려운 문제로 남아있다. Vaughan의 증명은 위상수학을 아주 멋지게 사용하는 간결한 방식인데, 딱히 출판하지는 않고 렉쳐노트로만 남아있는듯 하다. 그나마 최초의 남은 레퍼런스는 이거인거같은데, 여기서도 Vaughan의 1977 렉쳐를 인용하며 (?)표시를 남겨두었다 ㅋㅋㅋ. 3Blue1Brown의 아래 동영상과 Zariski님의 관련글에서 이 풀이를 소개하기도 했다. 몇 년 전에는 테렌스 타오도 시도를 해서 주어진 Jordan curve가 두개의 특정한 Lipschitz curve로 나누어지는 경우에 증명을 한듯.
3Blue1Brown, Who cares about topology? (Inscribed rectangle problem)
그런데 놀랍게도 이 내접하는 정사각형 문제가 임의의 부드러운(smooth) Jordan curve에 대해 풀렸다는 Quanta Magazine의 소식. 평소의 Quanta 글보다 좀 긴것 같은데, Arxiv에 올라온 그 풀이가 굉장히 짧고 방향성을 이해할만하기 때문인가보다. 심지어 정사각형 뿐만 아니라, 두 변의 길이의 비를 임의로 잡아도 그와 닮은 직사각형이 똑같이 내접한다고 한다!
저자인 조슈아 그린(Joshua Greene)과 앤드류 롭(Andrew Lobb)은 COVID-19때문에 락다운상태에 있다가 이 문제를 풀기로 결정한듯 ㅋㅋㅋ 나는 집에있으면 놀기만하게되던데…
여튼 위 Vaughan의 접근과 새로운 접근을 아주아주 간략하게 설명하면 곡선을 삼차원에 넣는 하나의 방법인 다음 embedding을 생각하는 것이다.
곡선위의 임의의 두 점에 대해 (중점의 x좌표,중점의 y좌표,두 점 사이의 길이)를 좌표로 갖는 점들을 모두 찍는다 (*)
그리고 이렇게 embedding한 3차원상의 곡면의 성질을 살피는 것.
이것을 2018년 프린스턴의 Cole Hugelmeyer라는 학생이 2018년 위 Vaughan의 embedding을 4차원으로 확장시키는 방식을 생각했는데, 대충 말해서 마지막 좌표로 각 두 점을 잇는 선분의 각을 포함하는 것이다. 이런 embedding을 생각하면 특정한 비율을 갖는 직사각형만 고려할 수 있게되고, 이 아이디어와 원래 Vaughan이 했던 위상수학적 아이디어를 합쳐서 두 변 사이의 비가 인 특정한 직사각형이 내접함을 보였다.
또 2019년 같은 저자가 이 embedding을 더 잘 분석해서, 임의의 Jordan curve가 (대각선과 한 변이 이루는 각에 따른 measure에 대해) 1/3정도의 직사각형을 항상 포함하는것도 보였다는 결과도 냈다.
그러면 마지막으로 그린과 롭의 새로운 결과는? 거의 비슷한 embedding을 생각하는데, symplectic 구조를 보존하도록 (즉 symplectomorphism이 되도록) 약간 변경한다고 한다. 그리고 Möbius Strip 대신 Klein Bottle에 관한 논증을 한듯. 그러면 쉽게 풀린다는데….. 자세히는 모르겠다 ㅋㅋㅋ Hugelmeyer의 두 논문과 새로운 논문 모두 아주 짧으니 궁금하면 한번 보는것도 추천.
2020/6/29 P와의 얘기 이후 약간 추가: (맨 마지막 전까지 Möbius Strip얘기가 없어서..)
Vaughan의 증명을 좀 더 자세히 적으면, (*)에 정의된 함수는 곡선위의 두 점을 R^3로 보내는 함수이다. 근데 “곡선위의 두 점”은 위상수학적으로 보면 사실 (x,x), 즉 Jordan curve위의 점들이 경계가 되는 Möbius Strip이 된다. (Ordered 두 점이 이 되는것을 생각하고, 여기서 order를 없애면 된다.)
근데 이 map의 이미지는 , 즉 z좌표가 0 이상이 되고 z=0인 부분은 정확히 Jordan curve가 된다. 즉, 문제는 Möbius Strip을 반공간에 넣으며, Möbius Strip의 경계가 반공간의 경계에 있도록 하는것이 가능하느냐의 문제. 근데 이것은 불가능함이 잘 알려져 있다. 조금 더 자세하게 보자면, Möbius Strip의 경계와 중간선은 R^3에 embedding했을 때 꼬여있는데, 이 중간선을 생각하면 z좌표가 음수인 부분이 있어야한다.
인 특정한 직사각형이 내접함을 보였다. 
이 되는것을 생각하고, 여기서 order를 없애면 된다.)
, 즉 z좌표가 0 이상이 되고 z=0인 부분은 정확히 Jordan curve가 된다. 즉, 문제는 Möbius Strip을 반공간에 넣으며, Möbius Strip의 경계가 반공간의 경계에 있도록 하는것이 가능하느냐의 문제. 근데 이것은 불가능함이 잘 알려져 있다. 조금 더 자세하게 보자면, Möbius Strip의 경계와 중간선은 R^3에 embedding했을 때 꼬여있는데, 이 중간선을 생각하면 z좌표가 음수인 부분이 있어야한다.
Pseudorandom Things 