• 1. 关键字
• 2. 映射
  • 2.1. 散列函数(hash)
    • 2.1.1. 简单一致散列
    • 2.1.2. 碰撞(collision)
    • 2.1.3. str2int 的方法
  • 2.2. 直接寻址法
  • 2.3. 链接法
    • 2.3.1. 全域散列(universal hashing)
      • 2.3.1.1. 定义
      • 2.3.1.2. 性质
      • 2.3.1.3. 实现
  • 2.4. 开放寻址法
    • 2.4.1. 不成功查找的探查数的期望
      • 2.4.1.1. 插入探查数的期望
      • 2.4.1.2. 成功查找的探查数的期望

哈希表 (hash table) , 可以实现 $O(1)$ 的 read, write, update 相对应 python 中的 dict, c语言中的 map

其实数组也能实现, 只是数组用来索引的关键字是下标, 是整数. 而哈希表就是将各种关键字映射到数组下标的一种"数组"

由于关键字是用来索引数据的, 所以要求它不能变动(如果变动,实际上就是一个新的关键字插入了), 在python 中表现为 immutable. 常为字符串.

将关键字 k 进行映射, 映射函数 $h$, 映射后的数组地址 $h(k)$.

• 简单一致假设:元素散列到每个链表的可能性是相同的, 且与其他已被散列的元素独立无关.
• 简单一致散列(simple uniform hashing): 满足简单一致假设的散列

好的散列函数应 满足简单一致假设 例如 $$ \begin{aligned} &(1) \text{除法散列} \quad h(k) = k \ mod\ m \ &(2) \text{乘法散列} \quad h(k) = \lfloor {m(kA \ mod\ 1)\rfloor} \text{,(0< A< 1)}\ &\quad\text{任何 A 都适用,最佳的选择与散列的数据特征有关.}\ &\quad\text{ Knuth 认为,最理想的是黄金分割数}\frac{\sqrt{5} -1}{2} \approx 0.618 \end{aligned} $$

由于关键字值域大于映射后的地址值域, 所以可能出现两个关键字有相同的映射地址

可以先用 ascii 值,然后

• 各位相加
• 两位叠加
• 循环移位
• ...

将关键字直接对应到数组地址, 即 $h(k)=k$

缺点: 如果关键字值域范围大, 但是数量小, 就会浪费空间, 有可能还不能储存这么大的值域范围.

通过链接法来解决碰撞

记有 m 个链表, n 个元素 $\alpha = \frac{n}{m}$ 为每个链表的期望元素个数(长度)

则查找成功,或者不成功的时间复杂度为 $\Theta(1+\alpha)$ 如果 $n=O(m), namely \quad \alpha=\frac{O(m)}{m}=O(1)$, 则上面的链接法满足 $O(1)$的速度

随机地选择散列函数, 使之独立于要存储的关键字

设一组散列函数 $H={h_1,h_2,\ldots,h_i}$, 将 关键字域 U 映射到 ${0,1,\ldots,m-1}$ , 全域的函数组, 满足 $$ for \ k \neq l \ \in U, h(k) = h(l), \text{这样的 h 的个数不超过}\frac{|H|}{m} $$ 即从 H 中任选一个散列函数, 当关键字不相等时, 发生碰撞的概率不超过 $\frac{1}{m}$

对于 m 个槽位的表, 只需 $\Theta(n)$的期望时间来处理 n 个元素的 insert, search, delete,其中 有$O(m)$个insert 操作

选择足够大的 prime p, 记 $Z_p={0,1,\ldots,p-1}$, $Z_p^{}={1,\ldots,p-1}$ 令$h_{a,b}(k) = ((ak+b)mod\ p) mod\ m$ 则 $H_{p,m}={h_{a,b}|a\in Z_p^{},b\in Z_p}$

每一个散列函数 $h_{a,b}$ 都将 $Z_p$ 映射到 $Z_m$, m 可以是任意的, 不用是一个素数

所有表项都在散列表中, 没有链表. 且散列表装载因子$\alpha=\frac{n}{m}\leqslant1$ 这里散列函数再接受一个参数, 作为探测序号 逐一试探 $h(k,0),h(k,1),\ldots,h(k,m-1)$,这要有满足的,就插入, 不再计算后面的 hash值

探测序列一般分有三种

• 线性$\ 0,1,\ldots,m-1$

存在一次聚集问题

• 二次$\ 0,1,\ldots,(m-1)^2$

存在二次聚集问题

• 双重探查

$h(k,i) = (h_1(k)+i*h_2(k))mod\ m$ 为了能查找整个表, 即要为模 m 的完系, 则 h_2(k)要与 m 互质. 如可以取 $h_1(k) = k\ mod \ m,h_2(k) = 1+(k\ mod\ {m-1})$

注意删除时, 不能直接删除掉(如果有元素插入在其后插入时探测过此地址,删除后就不能访问到那个元素了), 应该 只是做个标记为删除

对于开放寻址散列表,且 $\alpha&lt;1$,一次不成功的查找,是这样的: 已经装填了 n 个, 总共有m 个,则空槽有 m-n 个. 不成功的探查是这样的: 一直探查到已经装填的元素(但是不是要找的元素), 直到遇到没有装填的空槽. 所以这服从几何分布, 即 $$ p(\text{不成功探查})=p(\text{第一次找到空槽})=\frac{m-n}{m} $$ 有 $$ E(\text{探查数})=\frac{1}{p}\leqslant \frac{1}{1-\alpha}$$

所以, 插入一个关键字, 也最多需要 $\frac{1}{1-\alpha}$次, 因为插入过程就是前面都是被占用了的槽, 最后遇到一个空槽.与探查不成功是一样的过程

成功查找的探查过程与插入是一样的. 所以查找关键字 k 相当于 插入它, 设为第 i+1 个插入的(前面插入了i个,装载因子$\alpha=\frac{i}{m}$. 那么期望探查数就是 $$\frac{1}{1-\alpha}=\frac{1}{1-\frac{i}{m}}=\frac{m}{m-i}$$

则成功查找的期望探查数为 $$ \begin{aligned} \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\frac{m}{m-i}=\frac{m}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{m-i} &= \frac{m}{n}\sum_{i=m-n+1}^{m}\frac{1}{i}\ &\leqslant \frac{1}{\alpha} \int_{m-n}^m\frac{1}{x}dx\ &=\frac{1}{\alpha}ln\frac{1}{1-\alpha} \end{aligned} $$

代码

github地址

class item:
    def __init__(self,key,val,nextItem=None):
        self.key = key
        self.val = val
        self.next = nextItem
    def to(self,it):
        self.next = it
    def __eq__(self,it):
        '''using  keyword <in> '''
        return self.key == it.key
    def __bool__(self):
        return self.key is not None
    def __str__(self):
        li = []
        nd = self
        while nd:
            li.append(f'({nd.key}:{nd.val})')
            nd = nd.next
        return ' -> '.join(li)
    def __repr__(self):
        return f'item({self.key},{self.val})'
class hashTable:
    def __init__(self,size=100):
        self.size = size
        self.slots=[item(None,None) for i in range(self.size)]
    def __setitem__(self,key,val):
        nd = self.slots[self.myhash(key)]
        while nd.next:
            if nd.key ==key:
                if nd.val!=val: nd.val=val
                return
            nd  = nd.next
        nd.next = item(key,val)

    def myhash(self,key):
        if isinstance(key,str):
            key = sum(ord(i) for i in key)
        if not isinstance(key,int):
            key = hash(key)
        return key % self.size
    def __iter__(self):
        '''when using keyword <in>, such as ' if key in dic',
            the dic's  __iter__ method will be called,(if hasn't, calls __getitem__
            then  ~iterate~  dic's keys to compare whether one equls to the key
        '''
        for nd in self.slots:
            nd = nd.next
            while nd :
                yield nd.key
                nd = nd.next
    def __getitem__(self,key):
        nd =self.slots[ self.myhash(key)].next
        while nd:
            if nd.key==key:
                return nd.val
            nd = nd.next
        raise Exception(f'[KeyError]: {self.__class__.__name__} has no key {key}')

    def __delitem__(self,key):
        '''note that None item and item(None,None) differ with each other,
            which means you should take care of them and correctly cop with None item
            especially when deleting items
        '''
        n = self.myhash(key)
        nd = self.slots[n].next
        if nd.key == key:
            if nd.next is None:
                self.slots[n] =  item(None,None) # be careful
            else:self.slots[n] = nd.next
            return
        while nd:
            if nd.next is None: break  # necessary
            if nd.next.key ==key:
                nd.next = nd.next.next
            nd = nd.next
    def __str__(self):
        li = ['\n\n'+'-'*5+'hashTable'+'-'*5]
        for i,nd in enumerate(self.slots):
            li.append(f'{i}: '+str(nd.next))
        return '\n'.join(li)