Шары и колбы. Кто короче?
Сегодня у товарища 
lex_kravetski обнаружил интересную задачку про шары и колбы. Приведённое автором решение многим (мне в том числе) показалось слишком длинным и излишне подробным. Народ настругал больше двухсот комментариев, многие предлагали альтернативные способы, увы, в большинстве ошибочные.
Привожу свой вариант решения, самый короткий из предложенных и не требующий к тому же никаких манипуляций с векторами.
Чтобы к нему прийти, достаточно вспомнить, что любая система, помещённая в поле тяжести Земли, будет двигаться таким образом, чтобы уменьшить значение своей потенциальной энергии. Вычисляется последняя, напомню, для каждой составной части системы по формуле
где -- масса рассматриваемой части,
-- высота её центра масс над некоторым уровнем, принимаемым за начало отсчёта,
-- ускорение свободного падения. Энергия же всей системы равна простой сумме энергий её составляющих.
Посмотрим теперь на нашу установку и выясним, что происходит с потенциальной энергией её частей при единственно возможном движении -- вращении плечей весов вокруг точки крепления:
-
Стальной шар висит неподвижно и сам по себе никакого вклада в изменение энергии не вносит.
-
Весы со стеклянными колбами, разумеется, тоже ничего не меняют: они полностью симметричны, на сколько поднимается одна половина, на столько же опускается другая, так что в целом их вклады компенсируются.
-
Вода в левой колбе. Тут всё ясно: при вращении, скажем, по часовой стрелке она поднимается вверх, и её потенциальная энергия растёт.
-
Вода в правой колбе. Она опускается вниз, но не симметрично воде из левой колбы: мы помним, что стальной шар остаётся неподвижным, поэтому при движении правой колбы вниз он как бы всплывает относительно последней, и освобождённый им объём тут же заполняется водой. А это значит, что центр тяжести воды справа опускается быстрее, чем поднимается центр тяжести воды слева, следовательно, их суммарная потенциальная энергия убывает.
-
Шарик в левой колбе слегка замедлит процесс, но качественно ничего не изменит: мы ведь знаем, что он легче воды, т. к. стремится всплыть.
Таким образом, мы пришли к заключению, что при движении по часовой стрелке, т. е. при опускании правой чаши весов, потенциальная энергия системы уменьшается, значит, именно это движение и будет реализовано в действительности (аналогичным рассуждением можно показать, что при противоположном направлении движения потенциальная энергия будет расти).
Кто-то может возразить, что, согласно решению Лекса, весы отклоняются от горизонтального положения под действием силы реакции, противодействующей Архимедовой, со стороны стального шара. А из нашего рассуждения следует, что если мы "выключим" гравитационное поле, например, поместив всю систему в падающий лифт или на орбиту Земли, то эта сила реакции чудесным образом исчезнет. И будет абсолютно прав: ведь сила Архимеда как раз и возникает вследствие того, что на участки поверхности тела, находящиеся глубже, жидкость давит сильнее, чем на такие же участки, находящиеся выше, т. е. в конечном итоге обусловлена наличием силы тяжести. В условиях невесомости "вышележащие" слои жидкости не оказывают никакого дополнительного давления на "нижележащие" (там вообще нет никакого физически осмысленного способа определить понятия "выше" и "ниже"), стало быть, тело с любой плотностью, оставленное в покое в ёмкости с водой, будет спокойно плавать в той точке, куда его поместили.
Заметим заодно, что идея минимизации энергии используется и в совсем неигрушечных задачах. Все знают, почему предоставленная самой себе капля стремится принять сферическую форму, и легко понять, что этим же принципом руководствуется жидкость, выбирая себе поверхность в присутствии внешних сил и ограничивающих тел. Обладая некоторой сноровкой, нетрудно вычислить форму висящих проводов, а поднаторев в этом деле, можно приступать к исследованию приливных деформаций звёзд или равновесных конфигураций атомных ядер. Наконец, если отвлечься от энергий и копнуть несколько глубже, то выяснится, что к минимизации некоторой величины сводятся вообще все известные физические законы. Даже самые безнадёжные трудоголики живут по принципу наименьшего действия.