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集合と位相（増補新装版） (数学シリーズ)

内田 伏一 (著) 形式: Kindle版
5つ星のうち4.4 (57)
1986年の初版刊行以来、多くの読者から高い評価を得てきた『数学シリーズ 集合と位相』が、信頼の内容はそのままに、装いを新たに登場。
このたびの増補新装版では、旧版には一部しか掲載されていなかった「解答とヒント」を大幅に増補・充実させて、すべての問題に対する解答を収めた。

※この電子書籍は、「固定レイアウト型」で配信されております。説明文の最後の「固定レイアウト型に関する注意事項」を必ずお読みください。

1986年の初版刊行以来、多くの読者から高い評価を得てきた『数学シリーズ 集合と位相』が、信頼の内容はそのままに、装いを新たに登場。
集合と位相は、概念そのものが現代数学のあらゆる分野に深く浸透し活用されている。本書は、数理系の学生を対象に、集合と位相の基礎的な内容をまとめた入門書である。はじめの3章で集合を、残りの6章で位相を扱う。
「集合」では、最初に集合と写像の概念およびその演算について述べ、続いてカントールの対角線論法やベルンシュタインの定理などを考察し、また選択公理と整列可能定理が互いに同等であることを証明する。「位相」では、ユークリッド空間への位相の導入、距離空間への位相の導入へと次第に抽象化して、一般の位相空間へと導いている。
このたびの増補新装版では、旧版には一部しか掲載されていなかった「解答とヒント」を大幅に増補・充実させて、すべての問題に対する解答を収めた。

●目次
1．集合と写像
2．濃度の大小と二項関係
3．整列集合と選択公理
4．距離空間
5．位相空間
6．積空間と商空間
7．位相的性質
8．完備距離空間
9．写像空間

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  1. 本の長さ
    255ページ
  2. 言語
    日本語
  3. 出版社
    裳華房
  4. アクセシビリティ
    詳細はこちら
  5. 発売日
    2020/3/1
  6. ファイルサイズ
    86.6 MB
  7. Page Flip
    有効にされていません
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商品の説明

著者について

山形大学名誉教授、理学博士。1938年 宮城県生まれ。東北大学理学部卒業、東北大学大学院理学研究科修士課程修了。東北大学助手・講師,大阪大学講師・助教授,山形大学教授などを歴任。主な著書に『集合と位相(増補新装版)』『位相入門』『線形代数通論』『微分積分通論』(以上 裳華房)、『魔方陣』(日本評論社)、『変換群とコボルディズム論』(紀伊國屋書店)などがある。

登録情報

  • ASIN ‏ : ‎ B08PK1SS36
  • 出版社 ‏ : ‎ 裳華房
  • アクセシビリティ ‏ : ‎ 詳細はこちら
  • 発売日 ‏ : ‎ 2020/3/1
  • 言語 ‏ : ‎ 日本語
  • ファイルサイズ ‏ : ‎ 86.6 MB
  • Text-to-Speech（テキスト読み上げ機能） ‏ : ‎ 有効になっていません。
  • タイプセッティングの改善 ‏ : ‎ 有効にされていません
  • X-Ray ‏ : ‎ 有効にされていません
  • Word Wise ‏ : ‎ 有効にされていません
  • 本の長さ ‏ : ‎ 255ページ
  • Page Flip ‏ : ‎ 有効にされていません
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  • カスタマーレビュー:
    5つ星のうち4.4 (57)

著者について

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カスタマーレビュー

星5つ中4.4つ
57グローバルレーティング
集合より距離空間や位相空間に重点を置いた本
星5つ中5つ
集合より距離空間や位相空間に重点を置いた本
増補新装版と旧版の内容の違いは解答の解説の量しかなく, 旧版についても載っていない解答はホームページに掲載されていますが, 解答の確認がしやすくなり, 本文の組版が新しくなりきれいになったという意味で読みやすくなりました. 値段は旧版と変わらないです. (以下, 旧版のレビュー) 順序対の定義では組の定義がなくて感覚的に済ませています. 通常, 集合論では (a, b)＝{ {a}, {a, b} } と定義されています. そうすると, 組を論理で定義できて, 順序対の相等の定義は定理になります. すると写像を論理で定義できます. 写像の初等的な定義は, 普通の数学をやる上では問題ないのですが, 数学において精確性を追求するなら(「集合・位相入門」でも同じことが言えますが)「対応」「規則」を明確にしなければなりません. 写像は先にその定義域と値域を定めてから定義するのに, 導入とすぐ下の例では, 高校数学流に対応を先に定義し定義域と値域を未知の集合として求めています. しかも定義域は高校数学の範囲内で意味を持つものとしています. 集合Aから集合Bへの写像 f とはAとBの直積 A×B＝{ (a, b) | a∈A, b∈B} の部分集合 f⊂A×B で任意の (x, y), (x, η)∈A×B に対して (x, y), (x, η)∈ f ⇒ y＝η となるものです. これは関数 f にはそのグラフ { (x, y)∈A×B | y＝f(x)} が存在することを逆に利用して定義すると考えると理解できると思います. (二項)関係も「部分集合R⊂A×Aであり, (a, b)∈RのときaRbと書く」(aRa, aRb⇒bRa, aRbかつbRc⇒aRc, を満たすRが同値関係)が精確な定義です. これもAを区間と考えてA×Aを座標平面の長方形とし, その部分領域Rに２点が両方とも属するとき, それらの点には関係があると定める, と解釈するとわかりやすいでしょう. これらのことを厳密にしていないのは専門的な数学に慣れていない初学者への配慮とも考えられます. 空集合は任意の集合の部分集合であることを定義とせず, なぜそうなのか説明していこと, 確率論や解析学などで現れる, 集合列の上極限と下極限および極限が説明されていること, は良いと感じました. 集合の初歩的な事項よりも位相空間論を充実させていて, 位相を多用する方々には, 最良の和書だと思います. 特に関数解析と実解析において, 関数空間が或る他の関数空間で稠密であること及び埋め込み写像 (A⊆Bへの連続な包含写像 i:A∋i(a)→a∈B), 距離空間の完備化は, 多くの関数空間に適用されます. 完備化の存在証明は, 現代的に書かれた本の中では最も記号が少なく, 多くの結論を出す証明とは違って無駄がありません. 有向集合と有向点列による点列の収束の証明つきの話は非常に参考になりました. 線型位相空間の理論と合わせると, 超関数の連続性の定義につながります. (「新訂版 数理解析学概論」) これらの理論の土台として誕生した実数論について, 有理数からの実数の構成と連続性が付録で簡潔にまとめられているのは, 他書にはない特色です. 本書によると昔の高校の教科書では関数の連続性は点列連続性で定義したそうです. 写像空間の章にある「一様収束⇒連続」の「逆」である「ディ二の定理」はおもしろいです. 写像空間は関数解析と多変数複素解析にもつながります. 誤植が少なくて分量も多くはないので, 初学者にも最適だと考えています. 位相空間の前に距離空間を置いているのも, 他の本とは理解の仕方が変わってくると思います. 独特な論法で, 位相論の内容は薄くとも充実していて, 有名な「多様体の基礎」「代数概論」と, 初歩の実解析の復習から始まる高度な実解析による関数空間論の和書第１号「ベゾフ空間論」の３冊の参考文献にも挙げられています. ただ, 基本近傍系(いくらでも小さな近傍を持つ近傍系)など, 基礎的ながら触れられていない事項もあります. 本書にもある, 書きにくい上に読みにくい, ドイツ文字で順に対応するアルファベットはスクリプト体(筆記体)の Ｐ, Ａ, Ｎ, Ｇ, Ｍ, Ｕ です. それに倣った私の書き方も, 写真で紹介しておきます. 第１章の章末について. 集合列{E_n}_(n＝1, 2, …)の上極限 limsup(E_n)＝(∩_(m＝1, 2, …))(∪_(n＝m, m＋1, …))E_n とは, 全ての番号mに対して (∪_(n＝m, m＋1, …))E_n を含む最小の集合, 下極限 liminf(E_n)＝(∪_(m＝1, 2, …))(∩_(n＝m, m＋1, …))E_n は全ての番号mに対して (∩_(n＝m, m＋1, …))E_n に含まれる最大の集合です. ゆえに liminf(E_n)⊆limsup(E_n) と考えることもできます. (集合と位相の入門書について) 私がいつもおすすめしているのは以下です. 庄田 集合・位相に親しむ 松坂 集合・位相入門 内田 集合と位相 森田 集合と位相空間 藤岡 手を動かしてまなぶ 集合と位相
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日本からのトップレビュー

  • ファンシー
    星5つ中5つ
    数学科3・4年で習う分野に入門するための道具を揃える本
    2026年5月3日に日本でレビュー済み
    フォーマット: 単行本
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    集合論と位相空間論の本です。分かりやすい図解と証明で読みやすかった。また、この本は距離空間から位相空間の流れで話が進む点も良い。その方が位相空間から距離空間の流れで話が進むよりも絵でイメージができて諸々の概念が記憶に残ると思います（もちろん絵に騙されるというのはあるし、絵で描けない概念もある）。扱っている内容が少ないなどの意見が見受けらるが、多様体論や測度論などを勉強するための道具は十分揃うと感じた。実際、私はこれで十分だったし、加えて旧帝大の数学科の院試もこの本で乗り越えられた。

    1人のお客様がこれが役に立ったと考えています
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    ありがとうございます。数日中に調査いたします。
  • Enriques_Castelnuovo
    星5つ中4つ
    名著ですが…
    2022年2月13日に日本でレビュー済み
    フォーマット: 単行本
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    本書は1986年、初版が上梓された、同名書の

    増補新装版です。本文は同じです。

    巻末の「解答とヒント」が大幅に充実したもの

    となり、加えて版元の web-site に１問ごとの

    解答が up されました。よって参考・自習書と

    しても一層利用しやすくなりました。

    １回90分、25回（通年）の講義で、おおむね

    本書の７割がカバーできるくらいの分量で、

    内容の比率は、集合＝１に対し、位相＝２、

    となっています。

    初版から34年、既に定評のある教科書が、満を

    持してリニューアルしたことを評価します。

    名著には間違いないのですが集合論の観点から

    しますと、物足りなさを感じます（位相に

    ついては量・質とも集合より充実しています）。

    一言で申し上げますと、公理的集合論への言及

    が少ない（ない）のが、その理由です。

    例えば、Paul Halmos "Naive Set Theory"

    （1960）は、「ナイーブ」と冠していますが

    そのマインドは、axiomatic （公理的）です。

    本書で記述されている（素朴）集合論は、

    コンパクトにまとまっていますが、換言すると

    必要最小限に過ぎず、ここから公理的集合論へ

    進もうという意欲をインスパイアするとは

    到底、期待できません（私見です）。

    以下、その背景を述べます。

    現在、集合と位相が全数学の基礎であることを

    疑う人はいないと思います。当たり前ですが

    ガウスやコーシーの時代はもちろん、

    ヴァイエルシュトラースの頃もそうではありま

    せんでした。ざっくりと言ってしまうならば

    ブルバキがその『エレマン』で、集合と位相を

    基礎にすえてからの話です。1970年代、

    大きい本屋の理工学書コーナーに行くと、

    『集合』『位相』『代数系』の３分野を中心に

    ブルバキ邦訳書が棚を占めていたものです。

    現在では（歴史的覚書＝数学史を除き）すべて

    絶版となりました。

    ブルバキ以降、集合と位相が全数学の基礎と

    なったのは事実ですが、そこに矛盾があると

    思います。ブルバキは、例えばゲーデルの

    仕事（完全性定理、不完全性定理、選択公理と

    一般連続体仮説がいずれもＺＦから相対的に

    無矛盾であること）について言及することなく

    無視した、と言われています。要するに

    公理的集合論、数理論理学、数学基礎論などと

    呼ばれる分野にブルバキを興味を示しませんで

    した。おそらく現在の日本の大学の数学ないし

    数理科学専攻において、上記の３分野が必修で

    教えられている学校は少ない（ない）ように

    思われます。これはブルバキの影響が有形無形

    にあったのかもしれません。

    要するにブルバキの集合論はＺＦでもＺＦＣ

    （Ｃは選択公理）でもなく、ＺＣに過ぎない

    との指摘があります。一見、厳密性の権化で

    あり、定義、定理、証明の羅列という教科書

    のスタイルを定着させたブルバキですが、

    数学の基礎（数学基礎論、数理論理学、公理的

    集合論）についてはあまり関心を示しません

    でした。今どきブルバキの本で（素朴であれ

    公理的であれ）集合論を勉強する人は少ない

    （いない）のではないかと思われます。

    集合と位相を全数学の基礎にすえたのはまさに

    ブルバキですが、逆に数学の一分野としての

    公理的集合論、数理論理学、数学基礎論を意識

    的・無意識的に無視したのもブルバキではない

    かと思われてなりません。これをブルバキの

    功罪と呼ぶか、ブルバキの「ディレンマ」と

    呼ぶかは別として、奇妙な現象に見えます。

    （あくまで私見です）。

    従って、本書はブルバキの文脈において、

    「集合と位相」の名著であることは、間違いの

    ない事実です。しかし公理的集合論へ誘うよう

    な「磁力」「求心力」「引力」はありません。

    上記、ハルモスの古典的名著もそうですが、

    古き良き時代の集合論の教科書・参考書には

    公理的集合論の記述が少ないながらも含まれて

    いたものです。例えば

    赤攝也（1957、増補版1959）

    松村英之（1966）

    永田雅宜（1970）

    （いずれも故人）などの本です。

    教科書ではありませんが、日本数学会による

    『数学辞典』は、２版→３版→４版と、版が

    新しくなるにつれ、公理的集合論、数理論理学

    数学基礎論の分野の記述が充実して行くのが

    良い流れであると思います。

    最後に、名著である本書を踏まえ、

    公理的集合論への橋かけとなるような、次世代

    の名著の出現を願ってやみません。

    23人のユーザーが役に立ったと感じています
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  • レビューお世話になってます
    星5つ中5つ
    良い本
    2025年7月19日に日本でレビュー済み
    フォーマット: 単行本
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    行間が多くて良い本、ただそれでも数学書なので省かれている点も多い。はじめて「数学書」へ挑戦してみたい方には向いていると思う。

    1人のお客様がこれが役に立ったと考えています
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  • 小林健斗
    星5つ中5つ
    わかりやすい
    2023年10月3日に日本でレビュー済み
    フォーマット: 単行本
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    定番の一冊

    1人のお客様がこれが役に立ったと考えています
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  • エアの創造
    星5つ中5つ
    集合論の勉強に最適
    2023年4月25日に日本でレビュー済み
    フォーマット: 単行本
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    演習問題がこまめに挿入されていて、しかも全てに回答がついている

    自習者にやさしい

    内容も踏み込んだところまで書いてくれている

    特に位相を勉強するには最適だろう

    3人のユーザーが役に立ったと感じています
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  • ピロリ
    星5つ中5つ
    素晴らしい
    2021年5月19日に日本でレビュー済み
    フォーマット: 単行本
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    問題が多くて良い。

    解答もよくできている。

    4人のユーザーが役に立ったと感じています
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  • speed
    星5つ中5つ
    コンパクトです
    2021年4月2日に日本でレビュー済み
    フォーマット: 単行本
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    証明に飛躍があまりないところが良い。

    3人のユーザーが役に立ったと感じています
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  • 玄関
    星5つ中2つ
    扱っている内容が少ない
    2024年11月10日に日本でレビュー済み
    フォーマット: Kindle版 (電子書籍)
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    なぜこの本が色々なところで参考文献に挙げられているのか疑問に思います。証明がくどい。唯一の良い点は演習問題の質が良いところでしょうか。

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