第二巻と同じ

今までの多くの本は厳密性を謳いながらも説明を避けていたり深く見るよりも浅く見る方を優先させてきたことが多かった

ルベーグ積分論既習の上で手を出し、この本で解析学の基礎がわかった

　本書はTerence Taoの手になる全二巻からなる解析学教程の第一巻である。

　その昔、評者の作用素環論が専門の恩師は”解析学（或いは微積分学）は教えるのが大変に難しい”と仰っていた。解析学の理論や応用の範囲は膨大であり、力点を置くところも講義を行う方の専門に大きく左右されるので、講義の内容は数学者の人数分のバリエーションが有り得ると言っても過言では無い。さらに、講義を受ける者の解析学（数学）に対する興味の方向も多種多様であり、それ故「解析学の教科書に決定版などあり得ない」と言い切る解析学者もいる位である。

　冒頭の第一版の諸言で断っているように、この二巻は「実解析学入門」であり、第一巻では実数論、極限、級数、連続函数、微分法、Riemann-Stieltjes積分、第二巻では距離空間、距離空間上の連続函数、一様収束、冪級数、Fourier級数、実多変数の微積分、Lebesgue積分が扱われていている。複素函数論はFourier級数に必要な部分のみが触れられている。

　本書の特徴は、解析学の「厳密性」を前面に押し出す立場を採っていることにある。その厳密性の追求は本論冒頭から始まる実数体の構成から徹底されていて第2～5章の何と100頁以上を費やし、Peanoの公理による自然数の定義から始まり、自然数の差拡大による有理整数環の構成、有理整数環の商体を取ることによる有理数体の構成、Cauchy列を用いる有理数体の完備化を用いた実数体の構成及びその順序構造の解説と言う、厳密性と言う面では文句の着けようの無い道筋を、詳細な解説付きで辿ってゆく。解析学の本格的な教科書で実数体の構成をこのような方法で厳密に実行しているものは、実はそう多くは無い。現在、評者の手元には全部で8種類の解析学の教科書

　1. Terence Tao, Analysis I～II、

　2. Roger Godement, Analysis I～IV、

　3. Anthony W.Knapp, Basic Real Analysis、

　4. Herbert Amann,Joachim Escher, Analysis I～III、

　5. Vladimir A. Zorich, Mathematical Analysis I～II、

　6. Kenneth A. Ross, Elementary Analysis、

　7. Kenneth Hoffman, Analysis in Euclidian Spaces、

　8. Walter Rudin, Principles Mathematical Analysis、

があるが、本書と同じ手順で自然数から実数体の構成を完全に行っているのは4のAmann、Escherの本（但し実数を作るところはDedekindの方法）だけなのである。他の物は、有理整数環や有理数体に対する直感的な理解を仮定して、その上で実数体の構成を詳しく述べると言うやり方を採っている物が多い(8のRudinの本が典型であろう。6のRossの本は、Peanoの公理から自然数を定義しているが、有理整数環、有理数体の厳密な構成には触れていない。それは代数学の教科書の仕事と言う立場)。そして、AmannとEscherの本でも自然数から実数体の構成まで、本書と同じ100頁を必要としている。やはり、実数体の厳密な構成は大変に手間の掛かるものなのだ。（邦文では、彌永昌吉、数の体系、上下、岩波新書(1972,1978)、及び、彌永昌吉、小平邦彦、現代数学概説 I、岩波書店(1961)、斎藤正彦　数学の基礎、東京大学出版会(2002 )が、解析学の教科書ではないが同様な実数体の構成を行っていたと記憶する）

　本欄をご覧になるような方々はご存じであろうが、Taoのキャリアは調和解析学（多変数Fourier解析）の研究から始まるものだが、Fourier級数こそは、解析学に厳密性を強要した元凶であり、同時に集合、位相、測度の概念が生まれた母体でもある。収束性や極限操作の交換・評価に関して泥沼のような議論を必要とするFourier解析の研究者でもあるTaoが、自身の解析学の教科書の中で厳密性を強調することは至極当然なことであろう。厳密性を強調する書き方を選択するに当たってのTaoの教育上の企図は、本書の長大な第1版への緒言、及び第1章に詳しく述べられているので、本書を手に取る方々はこの部分を最初に精読して頂きたい。

　緒言によると本書の元になった講義は2003年のUCLAに於ける解析学の入門講義と のことだが、当時弱冠27、8才のTaoが若さに任せて行なう厳密性に拘った実数論だけに、講義を受講した学徒諸氏はついて行くだけで大変であったろう（その感想の一部が第一版の緒言の中にある）。それ故本書は、学徒・愛好家諸氏の数学(解析学)への興味の方向によっては、かなり好き嫌いが分れるのではないかと思う。上に述べたように解析学の理論・応用の範囲は余りにも広大且つ時間は有限なので、実数体の厳密な構成に何時までも拘らず、読者を解析学本体の話題に速やかに連れて行くべきだ、連れて行って欲しいという考えもあるからである。例えばこのTaoの二巻とほぼ同じ範囲の題材をカバーする7のAnalysis in Euclidean Spacesのように、同じ調和解析学者(Hoffmanも高名な調和解析学者である）であっても、実数論に関する議論は必要最小限（頁数にして10頁）にして、さっさと他の話題に移るという書き方をしている教科書もある。又、例え学部在籍中の学徒の方々であっても、一つの教科書を読み進めて行くと、どうしても扱う題材の選択、題材の並べ方、証明の方法に等に不満が募って来るものである。評者の場合には、本書の中で函数の漸近展開の考え方に触れていない事、そして全般的に具体的な函数(初等函数や特殊函数)の計算が少ない処に不満を持った(但し、緒言などを見ると、そのような微積分の計算練習はPreculculsで実施済みと言う前提で書かれているようにも思える) 。だからありきたりな感想ではあるが、万人にお勧めできるような解析学の教科書など本書を含めてあり得ず、自分に最適な教科書は、やはり自分が面白いと感じる教科書を見つけて精読し、それをまとめたノートを拡充しつつ自分自身で仕立てるしかない、と言う処に落ち着くのだろう。Fourier解析学、特にFourier級数の収束問題に多大な興味を持っている評者は、本書をとても面白いと思い、同好の士にお勧めしたいとは思ったのであるが...。

Short answer: This book is awesome.

Tao is pretty good at explaining the intuition behind each lemmas, propositions and theorems. He makes Analysis relatively easier to digest than, say, Rudin. However, one should keep in mind that this book does not follow the standard Real Analysis pace. In the preface, he explains that the book, modelled after his own class, will first spend significant amount of time in what would have been Chapter 1 of Rudin. (in fact, he spent 6 out of 12 Chapters on that topic). But fret not, this structure is convincingly good.

Another minor drawback is that the exercises mostly part of the proofs in the readings. If you want to practice more exercises, you can look into Rudin after reading this book. Also, for those who self study like myself, there is no solution available as of now.

It's hard to overestimate how good this book is. Don't be fooled to think starting from the basics takes out a lot of the flavor of analysis. Indeed, I personally realized how lacking my foundations were as I was taken thorugh a tour disecting every number system. After your perception about these number systems has dramatically shifted, the transition to the core of the subject flows smoothly. More importantly, you always get the feeling of being in good hands: there's not a single argument seem to be taken out of thin air because Tao makes the effort of going the extra mile in terms of rigour. For example, he first defines what it means for a sequence to be epsilon-close to a real number, what it means to be eventually epsilon-close, and then what it means to converge. That kind of scrutinizing is present across the entire book (see how he defines the Riemann integral by first defining the piece-wise constant Riemann integral instead of dropping the traditional upper and lower Riemann sums). It's because of these extra layers that every concept flows smoothly.

When it comes to the exercises, most consist in proving main results from the text. This makes you engage with the subject at a deeper level. It may sound overkill, but it is really rewarding. There are also those that expand beyond the body of the text, those that ask you to come with examples, and counterexamples, etc. There are no solutions but in my opinion, there are enough hints to not get stuck. I believe that as one progresses in mathematics hints are more valuable than complete solutions. More importantly, every exercise serves a purpose and educates the reader in how one should read a math textbook: fighting it! In the same way he often inserts a "why?" inside the main text, Tao wants you to learn how to read mathematics and think about mathematics, questioning every step in the way.

Why isn't this textbook more widespread? Why math departments keep throwing beginners a slog like Baby Rudin? I wish I could tell, because given the modern alternatives like Tao's, I wouldn't look any further.

There is now a set of proof programming exercises for this book, in the Lean language, on Terence Tao's github. Definitely worth trying.

One page was stuck together, but overall quality is acceptable for the price. Tao's writing is very clear and offers sufficient detail to self-teach analysis.

Ottimo testo di Analisi reale che spiega i concetti e le loro connessioni e posto in una impalcatura oltre a presentare il debito sfilare di definizione- proposizione-corollario-lemma. Snello, con esempi e controesempi perfettamente mirati allo scopo didattico, pochi esercizi, nessun fronzolo o quasi. Didattico e accessibile nel senso che non moltiplica la difficoltà della materia con la cripticità ingiustificata o con la prolissità in buona fede che si trova in tanti testi didattici